Борис Дмитриевский родился 3 мая 1922 года в Москве в семье служащего. В 1941 году окончил школу № 39 (ныне — московская школа № 40). В том же году он был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1942 году окончил Саратовское танковое училище. С мая 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в освобождении Полтавы, Минска, Вильнюса, боях в Восточной Пруссии. К февралю 1945 года гвардии старший лейтенант Борис Дмитриевский командовал танковой ротой 3-й гвардейской танковой бригады 3-го гвардейского танкового корпуса 2-го Белорусского фронта. Отличился во время освобождения Польши.
25 февраля 1945 года рота Дмитриевского участвовала в прорыве немецкой обороны в районе Бишофсвальде неподалёку от Данцига. В тех боях она уничтожила 8 артиллерийских орудий, 2 танка, около сотни солдат и офицеров противника. В боях к югу от озера Эльзенау танк Дмитриевского первым в роте прорвался к позициям противника и уничтожил 4 артиллерийских орудия, 8 автомашин и около 80 вражеских солдат и офицеров. Преследуя отходящие немецкие части, рота продвинулась вперёд на 50 километров, уничтожив 70 автомашин, 200 повозок и более 150 вражеских солдат и офицеров. 1 марта она захватила станцию Шюбен-Цанов, захватив четыре эшелона. Когда 10 марта рота Дмитриевского в составе бригады двигалась к Лауенбургу, она была обстреляна вражескими орудиями. Дмитриевский закрыл своим танком подбитый танк командира бригады, дав тому возможность уйти в безопасное место, а затем, обойдя вражескую батарею с тыла, разгромил её. В тот же день он вместе со своей ротой разгромил колонну противника. 11 марта 1945 года во время наступления на Нойштадт (Современный город Вейхерово в Польше) танк Б. Н. Дмитриевского был подбит, сам он получил смертельное ранение и умер по дороге в госпиталь. Похоронен в Лемборге.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство» гвардии старший лейтенант Борис Дмитриевский посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
При жизни был также награждён орденами Красного Знамени, Красной Звезды, Отечественной войны 1-й степени.
